Modelado dinámico y simulación de rígidos.

Scientific Reports volumen 12, número de artículo: 13558 (2022) Citar este artículo

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Se estudia el sistema de cable de acoplamiento rígido-flexible bajo gran deformación, y el elemento de viga de la formulación de coordenadas de nodo absoluto se utiliza para establecer el cuerpo del cable flexible del sistema. Se discuten diferentes algoritmos integrales numéricos para resolver el sistema de cable rígido-flexible y se propone una estrategia de integración que combina el método de Euler implícito con el método residual mínimo (MINRES). Se analiza la influencia de la posición y número de componentes rígidos y las diferentes longitudes de los elementos flexibles en la dinámica del sistema. Con una masa total constante del sistema, un mayor número de componentes rígidos y su distribución uniforme contribuyen a la estabilización de la oscilación del cuerpo del cable flexible. Cuando la longitud total del cable es constante, aumentar el número de elementos de la viga mejora las características no lineales del movimiento de giro y daña la estabilidad. La influencia de diferentes factores en el movimiento de un cuerpo de cable flexible de gran deformación se obtiene mediante el modelado y simulación del sistema de cable de acoplamiento rígido-flexible.

En los mecanismos rígidos convencionales, la transmisión de movimiento y potencia se realiza principalmente a través de articulaciones, lo que también puede lograrse mediante deformación elástica del cuerpo flexible. El cable flexible puede considerarse como una pluralidad de nodos con gran deformación y desplazamiento, que soportan una cierta carga en el estado de estiramiento, que se usa ampliamente en diversos ámbitos, como el aeroespacial y el de elevación de plataformas1,2,3,4,5. Los métodos de modelado de la dinámica flexible de sistemas multicuerpo incluyen principalmente el método de coordenadas flotantes, el método de coordenadas de rotación y la formulación de coordenadas de nodo absoluto6,7,8,9. El método de coordenadas flotantes, también conocido como método de coordenadas mixtas, se usa ampliamente en el modelado de sistemas de acoplamiento rígido-flexible, especialmente para movimientos de ángulos pequeños de cuerpos rígidos10. El método de coordinación de rotación basado en la cinética estructural es adecuado para pequeñas deformaciones de cuerpos elásticos y movimientos de gran ángulo de cuerpos rígidos. La formulación de coordenadas de nodo absoluto (ANCF) es un método de análisis de dinámica de sistemas de múltiples cuerpos para grandes deformaciones y grandes desplazamientos de cuerpos flexibles propuesto por el profesor Shabana en 199611. Con respecto a las grandes deformaciones y grandes rotaciones de sistemas flexibles de múltiples cuerpos, la formulación de coordenadas de nodo absoluto (ANCF) El ángulo de rotación da como resultado un modelo de movimiento de cuerpo rígido inexacto12,13. En comparación, ANCF establece las coordenadas de posición del nodo y el vector de pendiente basándose en el sistema de coordenadas inerciales, y obtiene una matriz de masa constante sin aceleración centrífuga y aceleración de Coriolis, lo que mejora la eficiencia del cálculo numérico14 y evita el acoplamiento inercial entre el movimiento a gran escala de rígidos. cuerpo y la deformación elástica del cuerpo flexible15. Shen et al.16 establecieron una viga en voladizo bidimensional y una red flexible tridimensional basada en ANCF, y propusieron un método adecuado para el estudio dinámico de sistemas de cables flexibles de gran deformación y gran desplazamiento. Chen et al.17 derivaron las ecuaciones dinámicas de acoplamiento rígido-flexible del mecanismo espacial paralelo bajo diferentes módulos elásticos mediante el método del multiplicador de Lagrange, que proporcionó un método para el modelado dinámico del acoplamiento rígido-flexible del mecanismo espacial. Liang et al.18 estudiaron el modelado de cuerdas flexibles y propusieron un modelo de resorte de flexión de estructura, que puede simular cuerdas con diferentes módulos elásticos. Zhao et al.19 establecieron el modelo dinámico de malla flexible basado en el supuesto de un sistema de partículas discreto y llevaron a cabo cálculos numéricos utilizando el método de Runge Kutta de cuarto orden. Li et al.20 derivaron el modelo dinámico de mecanismos complacientes con grandes componentes de deformación no lineales mediante el método integral elíptico y ANCF, y verificaron la efectividad de ANCF en el modelado de mecanismos complacientes. Zhang et al.21 estudiaron el método de modelado para la varilla flexible con gran deformación mediante un elemento de viga ANCF con restricciones de deformación en los extremos. Berzeri et al.22 analizaron el mecanismo plano de cuatro barras con grandes componentes de deformación mediante ANCF.

En este artículo se estudia la dinámica del cuerpo de un cable flexible considerando la influencia de los componentes rígidos. El sistema multicuerpo de acoplamiento rígido-flexible lo establece la ANCF, que contiene elementos de viga y cilindros rígidos. Se simula el proceso de oscilación libre del cable flexible bajo gravedad, durante el cual se calcula la cinemática y dinámica del sistema, y se analiza la influencia de diferentes factores en la oscilación del cuerpo del cable flexible.

En la formulación de coordenadas de nodo absoluto, las coordenadas de nodo del elemento se definen en el sistema de coordenadas inercial. La Figura 1 muestra un elemento de viga de deformación plana basado en el ANCF. Las coordenadas nodales se pueden aproximar mediante la función de forma global. Por lo tanto, la posición global de cualquier punto del elemento se puede describir mediante la función de forma global y las coordenadas absolutas del nodo expresadas como

donde, S es la función de forma global. e es el vector de coordenadas del nodo del elemento, que puede describirse mediante el desplazamiento y la pendiente del nodo. r define el vector de posición global de cualquier punto.

Elemento de viga de deformación plana.

Según la hipótesis del haz de Euler Bernoulli, la orientación del sistema de coordenadas está definida por el vector tangencial t, y el vector de fase normal n puede describirse mediante la matriz de transformación bajo el sistema inercial.

Donde, rx y ry son los componentes del vector r. x es la coordenada a lo largo del eje de la viga no deformada. La dirección del marco de Frenet está definida por el ángulo α en el sistema de coordenadas inercial, y el ángulo puede expresarse mediante el gradiente del vector de posición.

Cuando la viga se mueve como un cuerpo rígido como se muestra en la Fig. 2, el vector de posición global de cualquier punto en el elemento de la viga se puede expresar como

donde Rx y Ry son las coordenadas globales del punto final O. θ define la dirección del haz.

Movimiento de un elemento de viga rígida.

La componente del vector r está definida por un polinomio cúbico en el sistema inercial. La función de forma global que contiene el modo de cuerpo rígido completo se puede expresar como

El vector de coordenadas del nodo se expresa como

donde, l representa la longitud del elemento. e1, e2, e5, e6 representan las coordenadas absolutas de los nodos en O y A, y el resto de las coordenadas de los nodos se pueden expresar como

Según la fórmula cinemática dada en la ecuación. (2), el movimiento arbitrario del cuerpo rígido está definido por la posición del punto final O, y el vector de coordenadas del elemento e se puede expresar como

El desplazamiento global de cualquier punto del elemento se puede describir mediante la función de forma y la velocidad absoluta se puede obtener mediante la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. Entonces la energía cinética del elemento se puede expresar como

donde, ρ y V son la densidad y el volumen del elemento, respectivamente, por lo que la matriz de masa es constante. Sustituyendo la función de forma, la matriz de masa se puede expresar como

donde m es la masa del elemento viga y l es su longitud.

La fuerza elástica del elemento de viga flexible se puede obtener derivando la energía de deformación con respecto a la coordenada generalizada.

donde Qk es la fuerza elástica del elemento de viga flexible y U es la energía de deformación total.

La deformación longitudinal causada por la deformación longitudinal se puede expresar como

donde, E es el módulo de elasticidad del elemento. A es el área de la sección transversal del elemento.

El momento flector M se puede expresar como

donde I es el segundo momento de la sección transversal del elemento. κ es la curvatura del elemento.

La deformación causada por la deformación por flexión se puede expresar como

La energía de deformación total del elemento de viga es

La curvatura del elemento de viga se puede expresar como

dónde,

La fuerza elástica longitudinal Ql debida a la deformación longitudinal se puede expresar como

donde, Kl representa la matriz de rigidez correspondiente a la fuerza elástica longitudinal. La fuerza elástica curva Qt debida a la deformación transversal se puede expresar como

donde, Kt representa la matriz de rigidez correspondiente a la fuerza elástica transversal. La fuerza elástica total Qk y la matriz de rigidez total K del elemento se pueden expresar como

donde, S′ y S″ son la primera y segunda derivada de la función de forma S con respecto a las coordenadas locales, respectivamente.

ANCF puede obtener la matriz de masa constante de elementos flexibles sin transformación de coordenadas. La fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis son cero. Además, la fuerza elástica no es lineal en el sistema de coordenadas y generalmente no se utiliza el supuesto de pequeña deformación.

Según el primer tipo de ecuación de Lagrange, la ecuación dinámica del acoplamiento rígido-flexible basada en el método del multiplicador de Lagrange se deriva como

donde, Qk es la fuerza elástica del elemento de viga flexible, que se puede obtener mediante la ecuación. (11). Φe es la matriz jacobiana de la ecuación de restricción. Qa es el vector de fuerza nodal generalizado. λ es el multiplicador de Lagrange. γ es el término extremo derecho de la ecuación de aceleración.

Las ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE) de sistemas multicuerpo de gran deformación requieren métodos de integración numérica. Algunos algoritmos suelen necesitar una selección razonable de parámetros para garantizar la convergencia computacional y mejorar la eficiencia computacional. Comparado con el algoritmo explícito, el algoritmo implícito es más estable y tiene una mayor eficiencia de cálculo. Por lo tanto, se prefiere el método integral implícito para la dinámica de sistemas multicuerpo23. El algoritmo de Runge Kutta se utiliza a menudo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales; sin embargo, el método de Runge Kutta explícito tiene limitaciones en las regiones de estabilización, por lo que las ecuaciones de dinámica de cuerpos rígidos generalmente se resuelven mediante Runge Kutta implícito, que requiere un mayor costo de cálculo. En comparación con los métodos de integración tradicionales, el algoritmo Bathe, como método compuesto de integración de tiempo implícito, es más estable con una menor acumulación de errores, pero el tiempo de cálculo aumenta exponencialmente24,25,26,27. Durante la simulación dinámica, la discretización de elementos finitos de componentes flexibles produce muchas respuestas de pseudoalta frecuencia, lo que puede conducir a la no convergencia del algoritmo de Newmark. Y el algoritmo de Newmark puede volverse inestable al resolver problemas dinámicos no lineales de larga duración28,29. Además, los factores de amortiguación introducidos por el algoritmo implícito de Euler hacen que la amplitud de fluctuación de la curva sea más pequeña y la velocidad de convergencia sea más rápida. Además, la matriz de masa y la matriz de rigidez de la dinámica de sistemas multicuerpo son matrices dispersas grandes, y MINRES (Método Residual Mínimo) es un poderoso método de aproximación para matrices dispersas grandes dinámicas30. La comparación entre GMRES (método residual mínimo generalizado) y MINRES se discutirá más adelante. Generalmente en comparación con GMRES, MINRES es más estable y puede evitar el problema de la mutación numérica en GMRES, que es adecuado para analizar el movimiento de oscilación del cable flexible. Por lo tanto, en este artículo, el modelo de acoplamiento rígido-flexible se calcula mediante el algoritmo implícito de Euler combinado con el método MINRES. El diagrama de flujo de cálculo se muestra en la Fig. 3.

Diagrama de flujo de cálculo.

Para verificar el método de resolución de grandes matrices asimétricas en ecuaciones dinámicas. Se comparan MINRES y GMRES respecto al sistema dinámico del sistema de cables con un cuerpo rígido sujeto en su extremo16,31. Los parámetros se muestran en la Tabla 1 y el diagrama del modelo se muestra en la Fig. 4.

Diagrama del modelo de acoplamiento rígido-flexible con un cuerpo rígido al final.

El tiempo total de simulación es de 20 s y el paso de tiempo es de 0,005 s. Como se puede ver en la Fig. 5a, la diferencia en el desplazamiento del nodo final es similar y la velocidad de convergencia del método GMRES es ligeramente más rápida. La Figura 5b muestra que con el aumento del tiempo de simulación, la aceleración tiende a ser consistente. La curva del método MINRES es más suave, mientras que el método GMRES muestra cambios abruptos en los primeros períodos y exhibe fluctuaciones de alta frecuencia en comparación con el MINRES. Por tanto, al analizar el movimiento de oscilación del cable flexible, el método MINRES es más estable.

Comparación entre GMRES y MINRES. (a) Desplazamiento del nodo del extremo de la viga en la dirección Y. (b) Aceleración del nodo del extremo de la viga en la dirección Y.

El sistema Sing acoplado rígido-flexible solo es impulsado por la gravedad, por lo que se conserva la energía total del sistema, que incluye la energía cinética y la energía potencial de los componentes flexibles y los cuerpos rígidos, así como la energía de deformación elástica de los componentes flexibles. . Tomando como ejemplo el modelo de un cuerpo rígido, se analiza la energía del sistema. El cambio de los componentes energéticos del sistema se muestra en la Fig. 6, lo que implica que la energía siempre se conserva durante todo el proceso de simulación.

Análisis energético del sistema.

En esta sección, se considera un ejemplo para validar el modelo de viga flexible, que es un péndulo flexible bidimensional en caída libre bajo su propio peso32, como se muestra en la Fig. 7. La viga está conectada al suelo mediante una junta de pasador. en un extremo. La longitud, el área de la sección transversal, el segundo momento del área, la densidad y el módulo de elasticidad de la viga son 1,2 m, 0,0018 m2, 1,215 × 10−8 m4, 5540 kg/m3, 0,7 × 106 Pa, respectivamente. En la configuración original, el haz es horizontal sin velocidad. Se consideran dos casos en el análisis del péndulo descendente. En el primer caso, se supone que el haz cae bajo la fuerza de gravedad normal, mientras que en el segundo caso la aceleración gravitacional se incrementa a 50,0 m/s2. La Figura 8a muestra la posición del punto de punta de la viga usando 12 y 40 elementos finitos para el primer caso. Está claro que existe una buena concordancia entre los dos modelos, lo que demuestra que la solución converge con un número pequeño de elementos. La Figura 8b muestra el resultado de la gran deformación del haz que cae bajo una aceleración gravitacional de 50,0 m/s2 utilizando 12 elementos finitos. Los resultados presentados en la Fig. 8 concuerdan con los de la literatura32.

Péndulo flexible en caída libre.

Posición vertical del extremo libre del péndulo. (a) La viga usando 12 elementos y 40 elementos, g = 9,81 m/s2. (b) La viga que utiliza 12 elementos, g = 50,0 m/s2.

Además del ejemplo anterior de viga bidimensional, en este segundo ejemplo se considera el péndulo flexible en el caso de movimiento tridimensional33. El péndulo flexible está bajo gravedad con velocidad angular inicial alrededor del eje Y vertical. La Figura 9 muestra la configuración del modelo y los parámetros de simulación del modelo se muestran en la Tabla 2.

Modelo de péndulo flexible en movimiento tridimensional.

La Figura 10 muestra la comparación entre los resultados de la simulación del método de cable ANCF y los resultados de la literatura; se puede ver que los dos resultados son consistentes, lo que verifica el método de elementos de cable ANCF en este documento.

Comparación entre los resultados de la simulación y los resultados de la literatura anterior. (a) La posición Z versus X de la punta del péndulo. (b) La posición Y del punto medio del péndulo.

Se añaden cuerpos rígidos al cable flexible para establecer un modelo de acoplamiento rígido-flexible. Suponiendo que el peso total del modelo y los parámetros del cable flexible siguen siendo los mismos, solo se cambia el número y la distribución de los cuerpos rígidos, por lo tanto, se construyen dos modelos de cuerpo rígido, tres de cuerpo rígido y cinco de cuerpo rígido. Se simula el proceso de caída y balanceo del sistema de cable rígido-flexible libremente desde el estado horizontal y se analiza el movimiento del cuerpo rígido conectado al extremo del cable flexible. Los parámetros del cilindro rígido se muestran en la Tabla 3.

La Figura 11 muestra tres patrones de modelos de acoplamiento rígido-flexible con diferentes números de cuerpos rígidos, incluidos dos modelos de cuerpos rígidos, tres modelos de cuerpos rígidos y cinco modelos de cuerpos rígidos.

Diagrama esquemático de diferentes patrones de distribución de cuerpos rígidos.

La Figura 12 muestra la comparación del desplazamiento, velocidad y aceleración del cilindro rígido ubicado al final del cable bajo tres condiciones diferentes.

Comparación de diferentes patrones de distribución de cuerpos rígidos. (a) Desplazamiento en la dirección X. (b) Desplazamiento en la dirección Y. (c) Velocidad en la dirección X. (d) Velocidad en la dirección Y. (e) Aceleración en la dirección X. (f) Aceleración en la dirección Y.

Como se puede ver en la comparación del desplazamiento, en la Fig. 12a,b, cuando la masa total del modelo permanece sin cambios, con el aumento del número de cuerpos rígidos en el cable flexible, el desplazamiento del cilindro final decae más rápido con menor amplitud. Con respecto a la comparación de velocidades, la distribución de cuerpos rígidos tiene una gran influencia en la amplitud y el período de velocidad como se muestra en la Fig. 12c, d, con el aumento del número de cuerpos rígidos, el ciclo de velocidad del cilindro se vuelve mayor. . La diferencia es más obvia cuanto mayor es el tiempo de simulación. Por ejemplo, el quinto pico de velocidad es 10,2 s, 10,5 s y 11,9 s respectivamente con respecto a los modelos de dos cuerpos rígidos, tres de cuerpos rígidos y cinco de cuerpos rígidos. Este fenómeno también infiere que cuerpos más rígidos pueden contribuir a una velocidad de oscilación más estable del sistema de cables. En la Fig. 12e,f, se puede ver en los dos primeros ciclos que el pico de aceleración del modelo de dos cuerpos rígidos es mucho mayor que en los otros dos casos, lo que es fácil de provocar que el cable se enrede. Con el aumento del número de cuerpos rígidos, este fenómeno evidentemente se debilita. La atenuación de la aceleración del modelo de cinco cuerpos rígidos se ralentiza con el aumento del tiempo de simulación y presenta un fuerte fenómeno no lineal.

El análisis preliminar implica que un número excesivo de segmentos del cable flexible provoca un fenómeno no lineal. Se especula que la influencia de los segmentos de cable flexible es similar al número de elementos flexibles. Por lo tanto, el efecto de la longitud del elemento sobre las características no lineales del movimiento del cable flexible se observa con la longitud total del cable sin cambios.

Se establecen tres tipos de longitud de elemento como se muestra en la Tabla 4. Otros parámetros, incluidas las propiedades del material y las condiciones de simulación, son consistentes con el análisis anterior.

En la Fig. 13 se muestra una comparación del desplazamiento, la velocidad y la aceleración del cilindro terminal en la dirección Y con diferentes longitudes de elemento.

Comparación de diferentes longitudes de elementos. (a) Comparación de desplazamiento. (b) Comparación de velocidades. (c) Comparación de aceleraciones. (d) Vista ampliada de la comparación de aceleración entre Elemento_1 y Elemento_3.

Como se muestra en la Fig. 13, con la disminución de la longitud del elemento, el fenómeno no lineal se vuelve más obvio. El desplazamiento con la longitud de elemento más pequeña (Elemento_3) presenta la mayor amplitud de oscilación y la velocidad ya no es suave sino con puntas afiladas y un fenómeno de mutación. El fenómeno no lineal de la aceleración es más obvio y aparece una gran cantidad de rebabas en la curva. Los resultados de la simulación implican que cuanto más corta es la longitud del elemento, más fuerte es el fenómeno no lineal del sistema de acoplamiento rígido-flexible, y la aceleración es la más sensible a la longitud del elemento. En el sistema de acoplamiento rígido flexible, la adición de cuerpos rígidos aumenta la complejidad del movimiento del cuerpo flexible. Cuando hay menos elementos, la solución del sistema es más estable y tiende a converger.

El análisis anterior se lleva a cabo bajo la condición de disposición equidistante de cuerpos rígidos. Para explorar la situación de distribución no equidistante de cuerpos rígidos, seleccionamos los tres modelos de cuerpo rígido para diseñar experimentos comparativos entre situaciones equidistantes y no equidistantes; el diagrama esquemático y los parámetros del modelo se muestran en la Fig. 14.

Diagrama esquemático de distribución no equidistante de un cuerpo rígido. (a) Distribución equidistante. (b) Distribución no equidistante.

El proceso de oscilación libre se simula en condiciones de disposición equidistante y no equidistante de tres cuerpos rígidos. La Figura 15 muestra la comparación del desplazamiento, la velocidad y la aceleración del cilindro final en la dirección Y.

Comparación de distribución equidistante y no equidistante de cuerpos rígidos. (a) Comparación de desplazamiento. (b) Comparación de velocidades. (c) Comparación de aceleraciones.

La Figura 15 muestra que la amplitud de oscilación, velocidad y aceleración del cilindro extremo con una disposición equidistante de cuerpos rígidos es menor en comparación con una disposición no equidistante de cuerpos rígidos, lo que implica que bajo las mismas condiciones, la distribución de cuerpos rígidos afectaría el movimiento. del extremo del cable, y la disposición equidistante de los cuerpos rígidos hará que el movimiento del extremo del cable sea más estable (“Información complementaria”).

El modelo de cable de acoplamiento rígido-flexible se establece en base a ANCF. Se analiza la influencia del número y distribución de cuerpos rígidos, los patrones de distribución de cuerpos rígidos y las longitudes de los elementos en el proceso de oscilación. Cuando la masa total de los cuerpos rígidos permanece sin cambios, con más cuerpos rígidos distribuidos, el sistema de cables tendría una amplitud de oscilación menor y sería más estable. La distribución equidistante de los cuerpos rígidos debilitaría la amplitud y velocidad de oscilación y aumentaría la estabilidad del sistema. La longitud del elemento flexible afecta directamente la precisión de la simulación del movimiento del sistema de cables. Con elementos más cortos, el movimiento del sistema de cables es más complejo y las características no lineales se vuelven más obvias. Mientras tanto, este artículo estudia las discrepancias de diferentes métodos para resolver grandes matrices de ecuaciones dinámicas y verifica la estabilidad y viabilidad del método MINRES. En resumen, con respecto al sistema de cable de acoplamiento rígido-flexible de gran deformación y desplazamiento, ANCF se puede utilizar para construir elementos flexibles de manera eficiente, y este estudio contribuye a la influencia de diferentes factores en el movimiento del cuerpo de cable flexible de gran deformación.

Los datos utilizados para respaldar los hallazgos de este estudio están disponibles a pedido del autor correspondiente.

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Este trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (52005088) y la Fundación de Ciencias Naturales de la provincia de Liaoning (2020-MS-076) y el Proyecto Principal Nacional de Ciencia y Tecnología (J2019-IV-0002-0069).

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XW concibió y conceptualizó este experimento, revisó el manuscrito; JZ escribió el texto principal del manuscrito, la recopilación y el análisis de datos; HW contribuyó a las sesiones de diseño, revisadas críticamente; HS contribuyó a las sesiones de diseño, revisadas críticamente; ZL es el líder del proyecto y proveedor de fondos; QH contribuyó a las sesiones de diseño, revisadas críticamente. Todos los autores han leído y aceptado la versión publicada del manuscrito.

Correspondencia a Xiaoyu Wang.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Wang, X., Zhao, J., Wang, H. et al. Modelado dinámico y simulación de un sistema de cables de acoplamiento rígido-flexible mediante formulación de coordenadas nodales absolutas. Informe científico 12, 13558 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-17731-w

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Recibido: 01 de abril de 2022

Aceptado: 29 de julio de 2022

Publicado: 09 de agosto de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-17731-w

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